ÉLÉMENTS PROPRES D'UNE MATRICE CARRÉE (SUITE) :
NOTIONS SUR LA DIAGONALISATION D'UNE MATRICE CARRÉE

Définition 1 : Soient A et B des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.
On dit que A et B sont des matrices semblables s'il existe une matrice inversible P d'ordre n telle que
P^-1AP = B. Dans ce cas, on démontre que A et B admettent les mêmes valeurs propres.
Exemple : Les matrices réelles et sont semblables car pour
Définition 2 : Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels. On dit que A est diagonalisable si, et seulement si, A possède exactement n vecteurs propres linéairement indépendants , ce qui est toujours le cas lorsque toutes les n valeurs propres de A sont deux à deux distinctes.
Si A est diagonalisable, alors A est semblable à une matrice diagonale M (dont les éléments diagonaux sont précisément les valeurs propres de A, c.à.d. il existe une matrice inversible P telle que P^-1AP = M.
Exemples : a) La matrice est diagonalisable. En effet, elle est semblable à la matrice diagonale
b) La matrice n'est pas diagonalisable. En effet, tous ses vecteurs propres, associés à l'unique valeur propre 0 (de multiplicité 2), sont des multiples du vecteur propre (1, 0) de B. B n'admet donc pas deux vecteurs propres linéairement indépendants