1. a) Le polynôme caractéristique de la matrice A est ² -3 - 4 = 0. Les racines de cette équation étant - 1 et 4, les valeurs propres de A sont donc ₁ = -1 et ₂ = 4. Et les vecteurs propres qui leur sont respectivement associés sont les transposées des multiples (non nuls) respectifs des matrices unilignes (1 , - 2) et (2 , 1).

b) Le polynôme caractéristique de la matrice B est ² - 1 = 0. Les valeurs propres de A sont donc ₁ = -1 et ₂ = 1. Après calculs, on obtient comme vecteurs propres respectivement associés les multiples (non nuls) des transposées respectives des matrices unilignes (1 , - 1) et (1 , 1).

c) Le polynôme caractéristique de la matrice C est -³ - 2² + 8= 0 . Les valeurs propres de C sont donc, après résolution de cette équation algébrique, ₁ = 0, ₂ = 2 et ₃ = - 4 . Et les vecteurs propres qui leur sont respectivement associés sont les transposées des multiples respectifs (non nuls) des vecteurs unilignes (1 , 1 , 1) , (0 , 1 , -1) et (-3 , 1 , 5).

2. Les valeurs propres respectives de ces trois matrices A, B et C étant toutes simples (c.à.d des racines de multiplicité 1), chacune d'elles est diagonalisable et est semblable à une matrice diagonale de même format qu'elle, dont les éléments diagonaux sont précisément les valeurs propres de la matrice considérée.