Propriétés algébriques de la multiplication matricielle :
Pour autant que les sommes et les produits suivants puissent s'effectuer, on a, quelles que soient les matrices réelles A, B et C :

A.(B.C) = (A.B).C (Le produit matriciel est donc associatif)

A.(B + C) = A.B + A.C et (A + B).C = A.C + B.C (Le produit matriciel est donc distributif par rapport à l'addition matricielle)

Si I_n désigne la matrice unité d'ordre n, alors on a, quelle que soit la matrice carrée A d'ordre n :
A.I_n = I_n.A = A (La matrice unité I_n d'ordre n est donc l'élément neutre du produit matriciel, dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels).

N. B. : Ces propriétés peuvent être aisément démontrées, à l'aide des définitions de ces opérations. Vérifiez-les à l'aide de quelques exemples simples et arbitraires.
Remarques :
- Même si les deux produits A.B et B.A ont un sens, ils sont, en général, différents. C.à.d. . Le produit matriciel n'est donc pas commutatif.
- On peut avoir A.B = A.C sans pour autant que B soit égale à C.
- De même, A.B=O n'implique pas nécessairement que A=O ou B=O (où O désigne une matrice nulle) !