a) Définitions
Soit A = (a_ij) une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels.
- On appelle vecteur propre de A toute matrice non nulle X d'ordre n X 1 telle qu'il existe un nombre réel vérifiant l'égalité A . X = . X .
- Le nombre réel figurant dans l'égalité précédente est alors appelé une valeur propre de A associée au vecteur propre X de A.
- L'ensemble des matrices X d'ordre n X 1 vérifiant l'égalité A . X = . X est un espace vectoriel réel, appelé espace vectoriel propre associé à la valeur propre de A. Cet ensemble est souvent noté V.
Exemples illustratifs
N.B. : Les vecteurs, les valeurs propres et les sous-espaces vectoriels propres (qui leur sont respectivement associés) d'une matrice carrée A d'ordre n constituent les éléments propres de A.

b) Caractérisation (et détermination) des valeurs et vecteurs propres d'une matrice carrée
Soient A = (a_ij) une matrice carrée réelle d'ordre n et une valeur propre de A.
Alors, en vertu de la définition précédente, on a : A. X = .X. Donc A. X - .X = O, où O désigne la matrice nulle d'ordre nx1 (et X différent du vecteur nul).
Par suite, on a (A - . I_n) .X = O , où I_n est la matrice unité d'ordre n. (Mise en évidence classique)