ÉLÉMENTS PROPRES D'UNE MATRICE CARRÉE

c) Exemples illustratifs:
1 ) Déterminer les éléments propres de la matrice carrée
Solution :

Les valeurs propres de A sont donc les solutions réelles de cette dernière équation, c.à.d. 1 et 3. Déterminons alors les sous-espaces vectoriels propres respectivement associés à ces valeurs propres.
Soit, d'une part, ^t(x,y) un vecteur propre associé a la valeur propre 1. Alors on a :

Par suite, on a: V₁={ ^t(x,y) / x+y=0 }. On en déduit que ^t(1,-1), ^t(-2,2), ^t(3,-3), ..., par exemple, sont des vecteurs propres de A associés à la valeur propre 1 de A. D'autre part, ^t(x,y) est un vecteur propre associé à la valeur propre 3 de A si, et seulement si,
Par suite, on a: V₃={ ^t(x,y) / x-y=0 }. On en déduit que ^t(1, 1), ^t(2, 2), ^t(3, 3), ..., par exemple, sont des vecteurs propres de A associés à la valeur propre 3 de A.