APPLICATIONS DU CALCUL MATRICIEL EN ÉÉCONOMIE :
Exercice 4 : Matrices et modèles de population
Considérons une zone métropolitaine, avec une population constante d'un million d'habitants. Cette zone est constituée d'une ville et de ses faubourgs, et nous souhaitons analyser les populations changeantes, urbaine et périphérique. Notons C_n la population de la ville et S_n celle de ses faubourgs après n années.
La distribution de la population entre la ville et les faubourgs après n années est donc décrite par la matrice suivante : (1)
Supposons que, chaque année, 15 % des personnes de la ville déménagent vers les faubourgs, et que 10 % des personnes habitant les faubourgs déménagent vers la ville. Dès lors, la population urbaine de l'année suivante sera égale à 85 % de la population urbaine C_n de cette année, plus 10 % de la population périphérique S_n de cette année, selon la relation : C_n+1 = 0,85.C_n + 0,1O.S_n (2)
De même, on obtient , avec n entier positif, S_n+1 = 0,15.C_n + 0,90.S_n (3). Doù le système :
Sous forme matricielle, ce système peut s'écrire (4)
La matrice de transition pour cet exercice est donc
Et l'égalité matricielle (4) peut s'écrire P_n+1 = A.P_n. (5)
Il en résulte que : P₁ = AP₀ , P₂ = AP₁ = A² P₀ . De même, P₃ = A.P₂ = A³.P₀ (6), etc. En général, on obtient : pour n entier naturel quelconque,(7), avec, en particulier (et par convention), A₀ = I₂ , I₂ étant la matrice unité d'ordre 2. (Démonstration immédiate par récurrence sur n). On suppose maintenant que les populations initiales urbaine et périphérique soient (en milliers d'habitants) respectivement C₀ =700 et S₀ =300.
Déterminer, à long terme, la distribution des populations urbaine et périphérique qui résulte des taux de migration susmentionnés entre la ville et les faubourgs de la zone métropolitaine considérée.
SOLUTION PROPOSEE